Упр.1380 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x+\sin 5x=\sin 3x$$
2. $$\cos 7x-\cos 3x=3\sin 5x$$

1) Преобразуем левую часть по формулам приведения:

$$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin 3x\cos 2x=\sin 3x,$$

$$\sin 3x(2\cos 2x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 3x=0,$$ тогда $$3x=\pi n,$$ $$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z;$$
2. $$2\cos 2x-1=0,$$ тогда $$\cos 2x=\frac12,$$ $$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{3}\quad \text{или}\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x.$$

Тогда

$$-2\sin 5x\sin 2x=3\sin 5x,$$

$$\sin 5x(2\sin 2x+3)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 5x=0,$$ тогда $$5x=\pi n,$$ $$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z;$$
2. $$2\sin 2x+3=0,$$ тогда $$\sin 2x=-\frac32,$$ что невозможно.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$