Упр.1375 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^3 x+\cos^3 x=0$$
2. $$2\sin^2 x+\sin^2 2x$$
3. $$8\sin x\cos 2x\cos x=\sqrt{3}$$
4. $$4\sin x\cos x\cos 2x=\cos 4x$$

1) $$\sin^3 x+\cos^3 x=0$$

Разложим сумму кубов на множители:

$$(\sin x+\cos x)(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x)=0$$

$$(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=0$$

Тогда:

$$\sin x+\cos x=0$$

или

$$1-\sin x\cos x=0$$

Из первого уравнения:

$$\tan x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Из второго уравнения:

$$\sin x\cos x=1$$

Но $$|\sin x\cos x|\le \frac12,$$ значит, решений нет.

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin^2 x+\sin^2 2x=2$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2$$

$$2\sin^2 x+4\sin^2 x(1-\sin^2 x)=2$$

$$2\sin^4 x-3\sin^2 x+1=0$$

Положим $$y=\sin^2 x$$. Тогда:

$$2y^2-3y+1=0$$

$$(2y-1)(y-1)=0$$

Отсюда:

$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1$$

1) Если $$\sin^2 x=\frac12,$$ то

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) Если $$\sin^2 x=1,$$ то

$$\sin x=\pm 1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$8\sin x\cos 2x\cos x=\sqrt3$$

Преобразуем левую часть:

$$8\sin x\cos x\cos 2x=4\sin 2x\cos 2x=2\sin 4x$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2\sin 4x=\sqrt3$$

$$\sin 4x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Отсюда:

$$4x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$4\sin x\cos x\cos 2x=\cos 4x$$

Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$2\sin 2x\cos 2x=\cos 4x$$

$$\sin 4x=\cos 4x$$

$$\tan 4x=1$$

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$