Упр.1363 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1363. Решить уравнение: а) $$\sin 2x=\frac{1}{2}$$; б) $$\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$2\operatorname{tg}x+5=0$$.

1) $$\sin 2x=\frac12$$

Для уравнения $$\sin t=\frac12$$ имеем общий вид решений:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Полагая $$t=2x,$$ получаем

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 3x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Для уравнения $$\cos t=-\frac{\sqrt2}{2}$$ имеем

$$t=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Полагая $$t=3x,$$ получаем

$$3x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$2\tg x+5=0$$

$$\tg x=-\frac52.$$

Тогда

$$x=\arctg\left(-\frac52\right)+\pi n=-\arctg\frac52+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pm\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=-\arctg\frac52+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$