Упр.1356 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$7\ast 4×2-9\ast 14×2+2\ast 49×2=0$$
2. $$5\ast x+4)+3\ast 4(x+3)=4(x+4)+4\ast 5(x+3)$$

1) $$7\cdot 4^{x^2}-9\cdot 14^{x^2}+2\cdot 49^{x^2}=0$$

Представим степени с одинаковым основанием:

$$7\cdot (2^{2x^2})-9\cdot (2^{x^2}\cdot 7^{x^2})+2\cdot (7^{2x^2})=0$$

Разделим на $$7^{2x^2}$$:

$$7\left(\frac{2}{7}\right)^{2x^2}-9\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}+2=0$$

Пусть $$y=\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$$, тогда получаем квадратное уравнение:

$$7y^2-9y+2=0$$

$$D=9^2-4\cdot 7\cdot 2=81-56=25$$

$$y_{1,2}=\frac{9\pm 5}{14}$$

$$y_1=1,\quad y_2=\frac{2}{7}$$

1) $$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}=1 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$$

2) $$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}=\frac{2}{7} \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$

Следовательно, $$x=0,\pm 1$$.

2) $$5^{x+4}+3\cdot 4^{x+3}=4^{x+4}+4\cdot 5^{x+3}$$

Перепишем степени:

$$5^4\cdot 5^x+3\cdot 4^3\cdot 4^x=4^4\cdot 4^x+4\cdot 5^3\cdot 5^x$$

$$625\cdot 5^x+192\cdot 4^x=256\cdot 4^x+500\cdot 5^x$$

Перенесём слагаемые:

$$125\cdot 5^x=64\cdot 4^x$$

$$\left(\frac{5}{4}\right)^x=\frac{64}{125}=\left(\frac{4}{5}\right)^3$$

$$\left(\frac{5}{4}\right)^x=\left(\frac{5}{4}\right)^{-3}$$

Отсюда $$x=-3$$.

Ответ

1) $$x=0,\pm 1$$; 2) $$x=-3$$.