Упр.1350 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(\log_2 x\right)^2-\log_2 x+2=0$$
2. $$\left(\log_3 x\right)^2+5=2\log_3\left(x^3\right)$$

1) Пусть $$\log_2 x=a.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$a^2-3a+2=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(a-1\right)\left(a-2\right)=0.$$

Отсюда $$a=1$$ или $$a=2.$$

Тогда

$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$

$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4.$$

Ответ: $$2; 4.$$

2) Пусть $$\log_3 x=a.$$ Тогда уравнение

$$\left(\log_3 x\right)^2+5=2\log_3 x^3$$

преобразуем с учётом того, что $$\log_3 x^3=3\log_3 x,$$ получаем:

$$a^2+5=6a.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-6a+5=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(a-1\right)\left(a-5\right)=0.$$

Отсюда $$a=1$$ или $$a=5.$$

Тогда

$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3,$$

$$\log_3 x=5 \Rightarrow x=3^5=243.$$

Ответ: $$3; 243.$$