Упр.1294 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$\alpha+\beta+\gamma=\pi$$, то:
   1) $$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$$;
   2) $$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$$.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

1)

Преобразуем правую часть:

$$4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$
$$=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$$
$$=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$$
$$=4\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2} +4\sin\frac{\alpha}{2}\sin^2\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$
$$=2\sin\frac{\beta}{2}(1-\cos\alpha)+2\sin\frac{\alpha}{2}(1-\cos\beta)$$
$$=\sin\beta(1-\cos\alpha)+\sin\alpha(1-\cos\beta)$$
$$=\sin\alpha+\sin\beta-\bigl(\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta\bigr)$$
$$=\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)$$
$$=\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma.$$

Следовательно,

$$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

2)

Преобразуем левую часть:

$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin2\gamma$$
$$=2\sin(\pi-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+\sin2\gamma$$
$$=2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma$$
$$=2\sin\gamma\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma\bigr)$$
$$=4\sin\gamma\cos\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}.$$

Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ то

$$\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}=\frac{\pi-2\beta}{2},\qquad \frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}=\frac{\alpha-\pi+\alpha}{2}=\alpha-\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =4\sin\gamma\cos\frac{\pi-2\beta}{2}\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$$
$$=4\sin\gamma\sin\beta\sin\alpha.$$

Следовательно,

$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$

Ответ

$$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},$$
$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$