Упр.8.16(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$x+|x+2|-2=a$$; б) $$5x+|x-7|-2=3a$$.
а) Рассмотрим уравнение $$x+|x+2|-2=a.$$
Разберём по случаям.
1) Если $$x+2\ge 0,$$ то $$|x+2|=x+2,$$ и тогда
$$x+x+2-2=a \;\Rightarrow\; 2x=a \;\Rightarrow\; x=\frac{a}{2}.$$
Это решение подходит при условии
$$\frac{a}{2}\ge -2 \;\Rightarrow\; a\ge -4.$$
2) Если $$x+2<0,$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ и тогда
$$x-x-2-2=a \;\Rightarrow\; -4=a.$$
Значит, при $$a=-4$$ уравнение имеет решение $$x\le -2,$$ а при $$a>-4$$ решение существует из первого случая.
Итак, уравнение имеет хотя бы одно решение при
$$a\ge -4.$$
б) Рассмотрим уравнение $$5x+|x-7|-2=3a.$$
Разберём по случаям.
1) Если $$x\ge 7,$$ то $$|x-7|=x-7,$$ и
$$5x+x-7-2=3a \;\Rightarrow\; 6x-9=3a \;\Rightarrow\; x=\frac{3a+9}{6}=\frac{a+3}{2}.$$
Для этого случая нужно
$$\frac{a+3}{2}\ge 7 \;\Rightarrow\; a\ge 11.$$
2) Если $$x<7,$$ то $$|x-7|=7-x,$$ и
$$5x+7-x-2=3a \;\Rightarrow\; 4x+5=3a \;\Rightarrow\; x=\frac{3a-5}{4}.$$
Для этого случая нужно
$$\frac{3a-5}{4}<7 \;\Rightarrow\; 3a-5<28 \;\Rightarrow\; 3a<33 \;\Rightarrow\; a<11.$$
Следовательно, при любом $$a$$ хотя бы один из случаев выполняется, значит уравнение имеет решение при всех действительных $$a$$.
Ответ: а) $$a\ge -4$$; б) $$a\in(-\infty;+\infty).$$
