Упр.4.34(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• Пусть $$a \in [-4; 0]$$. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий все числа вида: а) $$1 + 2a^2$$; в) $$5a^3$$.

Рассмотрим значения выражений на концах отрезка $$a\in[-4;0].$$

1. $$1+2a^2$$

   Так как $$a^2\ge 0,$$ то наибольшее значение достигается при $$a=-4,$$ а наименьшее — при $$a=0.$$

   $$1+2\cdot(-4)^2=1+32=33,$$

   $$1+2\cdot 0^2=1.$$

   Следовательно, искомый отрезок:

   $$[1;33].$$

2. $$5a+a^2=a^2+5a$$

   Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина имеет абсциссу

   $$a_0=-\frac{5}{2}.$$

   Значение в вершине:

   $$\left(-\frac{5}{2}\right)^2+5\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{4}=-6{,}25.$$

   На концах отрезка:

   $$(-4)^2+5\cdot(-4)=16-20=-4,$$

   $$0^2+5\cdot 0=0.$$

   Значит, искомый отрезок:

   $$\left[-6{,}25;0\right].$$

3. $$5a^3$$

   Функция $$a^3$$ возрастает, значит на отрезке $$[-4;0]$$ наименьшее значение достигается при $$a=-4,$$ а наибольшее — при $$a=0.$$

   $$5\cdot(-4)^3=5\cdot(-64)=-320,$$

   $$5\cdot 0^3=0.$$

   Искомый отрезок:

   $$[-320;0].$$

4. $$\frac{2a+1}{3a-1}$$

   На отрезке $$[-4;0]$$ знаменатель не обращается в нуль, так как $$3a-1\ne 0.$$

   Проверим значения на концах:

   $$\frac{2\cdot(-4)+1}{3\cdot(-4)-1}=\frac{-8+1}{-12-1}=\frac{-7}{-13}=\frac{7}{13},$$

   $$\frac{2\cdot 0+1}{3\cdot 0-1}=\frac{1}{-1}=-1.$$

   Следовательно, искомый отрезок:

   $$\left[-1;\frac{7}{13}\right].$$