Упр.4.24(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$[x]=k.$$ Тогда $$k\le x<k+1.$$

а) При $$n\in \mathbb{N}$$ имеем:

$$[x+n]=[x]+n=k+n.$$

Так как $$k\le x<k+1,$$ то после прибавления $$n$$ получаем

$$k+n\le x+n<k+n+1,$$

значит, $$[x+n]=k+n=[x]+n.$$

б) Пусть $$y$$ — любое число. Тогда

$$[x+y]\le [x]+[y]=k+[y].$$

С другой стороны, из $$k\le x<k+1$$ следует

$$k+y\le x+y<k+y+1,$$

откуда

$$[x+y]\le k+[y].$$

Так как $$[y]\le y,$$ то

$$k+[y]\le k+y,$$

следовательно,

$$[x+y]\le y.$$

Значит, утверждение верно.