Упр.9.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Для функции $$f(x)=|x|$$ на отрезке $$[-1;1]$$ и $$T=2$$:

Так как $$|x|$$ — чётная функция, её график симметричен относительно оси $$Oy$$. На отрезке $$[-1;1]$$ имеем:

$$f(-1)=1,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1.$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}}=kT=2k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=[0;+\infty);$$
• возрастает на $$[2k;2k+1]$$ и убывает на $$[2k-1;2k]$$;
• наибольшее значение $$y_{\max}=1,$$ наименьшее значение $$y_{\min}=0;$$
• нули функции: $$x=2k,\quad k\in \mathbb{Z};$$
• $$f(x)>0$$ на $$\left(2k;2k+2\right);$$
• функция чётная.

б) Для функции $$f(x)=3\sqrt{x+2}$$ на промежутке $$[-2;2)$$ и $$T=4$$:

Функция $$y=\sqrt{x+2}$$ возрастает, значит и $$y=3\sqrt{x+2}$$ тоже возрастает. На концах промежутка:

$$f(-2)=3\sqrt{0}=0,\qquad f(2)=3\sqrt{4}=6.$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}}=kT=4k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=[0;+\infty);$$
• возрастает на $$[4k-2;4k+2);$$
• наибольшего значения нет, наименьшее значение $$y_{\min}=0;$$
• нули функции: $$x=4k-2,\quad k\in \mathbb{Z};$$
• $$f(x)>0$$ на $$\left(4k-2;4k+2\right);$$
• функция ни чётная, ни нечётная.

в) Для функции $$f(x)=3-|2-x|$$ на промежутке $$[0;3]$$ и $$T=3$$:

Преобразуем:

$$f(x)=3-|x-2|.$$

Это график, полученный из модуля, поэтому функция кусочно-линейная. На данном промежутке:

$$f(0)=3-|2|=1,\quad f(1)=3-|1|=2,\quad f(3)=3-|1|=2.$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}}=kT=3k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=[1;3];$$
• возрастает на $$[3k;3k+2]$$ и убывает на $$[3k+2;3k+3);$$
• наибольшее значение $$y_{\max}=3,$$ наименьшее значение $$y_{\min}=1;$$
• нулей функции нет;
• $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;+\infty);$$
• функция ни чётная, ни нечётная.

г) Для функции $$f(x)=3-\sqrt{4-3x}$$ на промежутке $$\left(0;1\right)$$ и $$T=1$$:

Функция $$y=\sqrt{4-3x}$$ убывает, значит $$y=3-\sqrt{4-3x}$$ возрастает. Найдём значения на концах промежутка:

$$f(0)=3-\sqrt{4}=1,\qquad f(1)=3-\sqrt{1}=2.$$

Все периоды функции:

$$T_{\text{общ}}=kT=k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Свойства функции:

• $$D(f)=\left(-\infty;+\infty\right);$$
• $$E(f)=(1;2);$$
• возрастает на $$\left(k;k+1\right);$$
• наибольшего и наименьшего значений нет;
• нулей функции нет;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(k;k+1\right);$$
• функция ни чётная, ни нечётная.