Упр.8.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$x_1<x_2$$.

а)

Если $$f(x)>0$$ и функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$, то

$$f(x_1)<f(x_2),$$

а так как обе величины положительны, то при переходе к обратным значениям знак неравенства меняется:

$$\frac{1}{f(x_1)}>\frac{1}{f(x_2)}.$$

Следовательно, функция $$y=\frac{1}{f(x)}$$ убывает на промежутке $$X$$.

б)

Если $$f(x)<0$$ и функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$X$$, то

$$f(x_1)>f(x_2),$$

причём обе величины отрицательны. Тогда

$$\frac{1}{f(x_1)}<\frac{1}{f(x_2)}.$$

Значит, функция $$y=\frac{1}{f(x)}$$ возрастает на промежутке $$X$$.

в)

Если $$f(x)>0$$ и функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$X$$, то

$$f(x_1)>f(x_2)>0,$$

откуда

$$\frac{1}{f(x_1)}<\frac{1}{f(x_2)}.$$

Следовательно, функция $$y=\frac{1}{f(x)}$$ возрастает на промежутке $$X$$.

г)

Если $$f(x)<0$$ и функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$, то

$$f(x_1)<f(x_2)<0,$$

а значит,

$$\frac{1}{f(x_1)}>\frac{1}{f(x_2)}.$$

Следовательно, функция $$y=\frac{1}{f(x)}$$ убывает на промежутке $$X$$.

Ответ: а) убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) убывает.