Упр.8.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$y=(x^2+1)^2$$

Рассмотрим внутреннюю функцию $$y=x^2+1$$. Это парабола, ветви направлены вверх, вершина при $$x=0$$.

Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то функция $$y=(x^2+1)^2$$ принимает наименьшее значение при $$x=0$$ и возрастает при $$x\ge 0$$, убывает при $$x\le 0$$.

Ответ: возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]$$.

$$y=x^4+6x^2+15=(x^2+3)^2+6$$

Рассмотрим функцию $$y=x^2+3$$. Она принимает только положительные значения, а выражение $$\left(x^2+3\right)^2$$ возрастает вместе с $$x^2+3$$.

Поскольку $$x^2$$ возрастает при $$x\ge 0$$ и убывает при $$x\le 0$$, то и функция $$y=(x^2+3)^2+6$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

Ответ: возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]$$.

$$y=(x^2-3x+10)^2$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$f(x)=x^2-3x+10$$. Его вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.$$

Так как $$a=1>0$$, парабола направлена вверх, значит $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;\frac{3}{2}]$$ и возрастает на $$[\frac{3}{2};+\infty)$$.

Кроме того,

$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 10=9-40=-31<0,$$

поэтому $$x^2-3x+10>0$$ при всех $$x$$, и возведение в квадрат сохраняет монотонность на промежутках.

Ответ: возрастает на $$\left[\frac{3}{2};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{2}\right]$$.

$$y=(x^2+2)^2-2x^2-3$$

Упростим выражение:

$$y=x^4+4x^2+4-2x^2-3=x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+1$$. Она убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$. Тогда и функция $$y=(x^2+1)^2$$ имеет ту же монотонность.

Ответ: возрастает на $$[0;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]$$.