Упр.8.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на множестве $$R$$.

1) Функция $$y=f(x)+f(-x)$$ является чётной, так как

$$y(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=y(x).$$

2) Функция $$y=f(x)-f(-x)$$ является нечётной, так как

$$y(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-y(x).$$

Оба утверждения доказаны.

б) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на симметричном множестве.

1) Функция $$y=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$$ является чётной, так как

$$y(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=y(x).$$

2) Функция $$y=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$$ является нечётной, так как

$$y(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-y(x).$$

3) Сумма чётной и нечётной функций:

$$\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} =\frac{2f(x)}{2}=f(x).$$

Утверждение доказано.