Упр.8.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-5}$$ и $$g(x)=23-2x.$$

Область определения первой функции: $$x\ge 5.$$ На этой области $$f(x)$$ возрастает, так как обе функции $$\sqrt{x}$$ и $$\sqrt{x-5}$$ возрастают. Функция $$g(x)=23-2x$$ убывает на всей числовой прямой.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение может иметь не более одного решения. Проверим $$x=9$$:

$$\sqrt{9}+\sqrt{9-5}=3+2=5,$$

$$23-2\cdot 9=23-18=5.$$

Следовательно, $$x=9.$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\dfrac{5}{x+1}$$ и $$g(x)=8\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0,$$ при этом $$x\ne -1$$, значит достаточно $$x\ge 0.$$ На этой области $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, поэтому решение может быть только одно. Проверим $$x=\dfrac14$$:

$$\dfrac{5}{\frac14+1}=\dfrac{5}{\frac54}=4,$$

$$8\sqrt{\frac14}=8\cdot \frac12=4.$$

Значит, $$x=\dfrac14.$$

в) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-3}$$ и $$g(x)=43-6x-x^2.$$

Область определения первой функции: $$x\ge 3.$$ На этой области $$f(x)$$ возрастает. Функция $$g(x)$$ — парабола, ветви направлены вниз, её вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=-3,$$

поэтому на промежутке $$[3;+\infty)$$ функция $$g(x)$$ убывает. Значит, решение не более одного. Проверим $$x=4$$:

$$\sqrt{4}+\sqrt{4-3}=2+1=3,$$

$$43-6\cdot 4-4^2=43-24-16=3.$$

Следовательно, $$x=4.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\left(x^2+4x+9\right)\sqrt{4x+1}=9.$$

Перепишем его в виде

$$\sqrt{4x+1}=\dfrac{9}{x^2+4x+9}.$$

Область определения: $$4x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -\dfrac14.$$

На этой области функция $$f(x)=\dfrac{9}{x^2+4x+9}$$ убывает, так как знаменатель $$x^2+4x+9=(x+2)^2+5$$ возрастает при $$x\ge -2,$$ а функция $$g(x)=\sqrt{4x+1}$$ возрастает. Поэтому решение не более одного. Проверим $$x=0$$:

$$\left(0^2+4\cdot 0+9\right)\sqrt{4\cdot 0+1}=9\cdot 1=9.$$

Значит, $$x=0.$$

Ответ: а) $$9$$; б) $$\dfrac14$$; в) $$4$$; г) $$0$$.