Упр.7.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=|x-5|\cdot(x+3)$$
Рассмотрим знак выражения под модулем:
$$x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge 5.$$
1) Если $$x\ge 5,$$ то
$$y=(x-5)(x+3)=x^2-2x-15.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1.$$
Для построения возьмём точки:
$$\begin{array}{c|cc} x & 5 & 7 \\ \hline y & 0 & 20 \end{array}$$
2) Если $$x<5,$$ то
$$y=-(x-5)(x+3)=-x^2+2x+15.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.$$
Для построения возьмём точки:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 \\ \hline y & 0 & 12 & 16 & 12 & 0 \end{array}$$
Следовательно, график функции состоит из двух параболических ветвей, соединяющихся в точке $$\left(5,0\right).$$
Область определения:
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;1]\cup[5;+\infty),$$ убывает на $$[1;5].$$
Нули функции: $$x=-3,\;5.$$
б) $$y=|x+3|\cdot|1-x|$$
Рассмотрим знаки выражений под модулями:
$$x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3,$$
$$1-x\ge 0 \Rightarrow x\le 1.$$
1) Если $$x\ge 1,$$ то
$$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1.$$
Точки для построения:
$$\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 5 & 12 \end{array}$$
2) Если $$-3\le x<1,$$ то
$$y=(x+3)(1-x)=-x^2-2x+3.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1.$$
Точки для построения:
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \end{array}$$
3) Если $$x<-3,$$ то
$$y=-(x+3)(1-x)=x^2+2x-3.$$
Точки для построения:
$$\begin{array}{c|ccc} x & -5 & -4 & -3 \\ \hline y & 12 & 5 & 0 \end{array}$$
Область определения:
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений:
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
Нули функции: $$x=-3,\;1.$$
Ответ: графики функций построены; для а) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ x=-3,5,$$ для б) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty),\ x=-3,1.$$
