Упр.7.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть область значений функции $$y=f(x)$$ есть отрезок $$[-3;5]$$. Найдите множество значений функции:

а) $$y=f(x+5)$$;

в) $$y=5-f(x)$$;

б) $$y=5-f(x+5)$$;

г) $$y=a-f(x+6)$$.

Так как область значений функции $$y=f(x)$$ равна $$[-3;5]$$, то для любого аргумента выполняется

$$-3\le f(x)\le 5.$$

Ход решения

1. $$y=f(x+5).$$

   Сдвиг аргумента не изменяет множество значений функции, поэтому

   $$E(y)=[-3;5].$$

2. $$y=5-f(x+5).$$

   Из $$-3\le f(x+5)\le 5$$ получаем

   $$-5\le -f(x+5)\le 3,$$

   тогда

   $$0\le 5-f(x+5)\le 8.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[0;8].$$

3. $$y=5-f(x).$$

   Аналогично:

   $$-3\le f(x)\le 5,$$

   $$-5\le -f(x)\le 3,$$

   $$0\le 5-f(x)\le 8.$$

   Значит,

   $$E(y)=[0;8].$$

4. $$y=a-f(x+6).$$

   Из $$-3\le f(x+6)\le 5$$ имеем

   $$-5\le -f(x+6)\le 3,$$

   тогда

   $$a-5\le a-f(x+6)\le a+3.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[a-5;a+3].$$

Ответ

а) $$[-3;5]$$; б) $$[0;8]$$; в) $$[0;8]$$; г) $$[a-5;a+3]$$.