Упр.6.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажем по индукции, что

$$S_n=4\cdot 2+7\cdot 2^3+10\cdot 2^5+\dots+(3n+1)2^{2n-1}=n\cdot 2^{2n+1}.$$

При $$n=1$$ имеем:

$$S_1=4\cdot 2=8=1\cdot 2^3.$$

Пусть для некоторого $$n$$ верно:

$$S_n=n\cdot 2^{2n+1}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+(3(n+1)+1)2^{2(n+1)-1}$$

$$S_{n+1}=n\cdot 2^{2n+1}+(3n+4)2^{2n+1}$$

$$S_{n+1}=(4n+4)2^{2n+1}=(n+1)2^{2n+3}=(n+1)2^{2(n+1)+1}.$$

Следовательно, формула верна для всех $$n\in \mathbb N$$.

б) Докажем, что

$$S_n=\frac12+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots+\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}.$$

При $$n=1$$:

$$S_1=\frac12=2-\frac{3}{2}= \frac12.$$

Пусть для некоторого $$n$$ верно:

$$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{2^{n+1}}$$

$$S_{n+1}=2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} =2-\frac{2n+4}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}$$

$$S_{n+1}=2-\frac{n+3}{2^{n+1}}.$$

Значит, формула верна для всех $$n\in \mathbb N$$.

в) Докажем, что

$$S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 3^2+\dots+(n-1)n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}.$$

При $$n=2$$:

$$S_2=1\cdot 2^2=4=\frac{2(4-1)\cdot 8}{12}.$$

Пусть для некоторого $$n$$ верно:

$$S_n=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}.$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+n(n+1)^2$$

$$S_{n+1}=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}+n(n+1)^2$$

$$S_{n+1}=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$$

$$S_{n+1}=\frac{(n+1)\big((n+1)^2-1\big)\big(3(n+1)+2\big)}{12}.$$

Следовательно, формула верна при $$n\ge 2$$.

г) Докажем, что

$$S_n=\frac13+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\dots+\frac{n}{3^n}=\frac34\left(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}}\right).$$

При $$n=1$$:

$$S_1=\frac13=\frac34\left(1-\frac{5}{9}\right)=\frac13.$$

Пусть для некоторого $$n$$ верно:

$$S_n=\frac34\left(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}}\right).$$

Тогда

$$S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{3^{n+1}}$$

$$S_{n+1}=\frac34\left(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}}\right)+\frac{n+1}{3^{n+1}}$$

$$S_{n+1}=\frac34-\frac{3(2n+3)}{4\cdot 3^{n+1}}+\frac{4(n+1)}{4\cdot 3^{n+1}} =\frac34-\frac{2n+5}{4\cdot 3^n}$$

$$S_{n+1}=\frac34\left(1-\frac{2n+5}{3^{n+2}}\right).$$

Значит, формула верна для всех $$n\in \mathbb N$$.