Упр.6.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим сумму $$S_n=1-2+3-4+5-6+\dots+n(-1)^{n+1}.$$

Если $$n=2k-1$$, то

$$S_n=(1-2)+(3-4)+\dots+\bigl((2k-1)-2k\bigr).$$

Каждая скобка равна $$-1$$, поэтому

$$S_n=-k.$$

Если $$n=2k$$, то

$$S_n=(1-2)+(3-4)+\dots+\bigl((2k-1)-2k\bigr),$$

и снова каждая скобка равна $$-1$$, значит

$$S_n=-k.$$

Ответ: $$S_n=-k$$ при $$n=2k-1$$ и при $$n=2k$$.

б) Рассмотрим сумму $$S_n=-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+\dots+(-1)^n n^2.$$

Если $$n=2k-1$$, то

$$S_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\dots+\bigl((2k-2)^2-(2k-3)^2\bigr)-(2k-1)^2.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(2m)^2-(2m-1)^2=(2m-1)(2m+1).$$

Тогда

$$S_n=1+2+3+\dots+(2k-2)-(2k-1)^2 =\frac{(2k-2)(2k-1)}{2}-(2k-1)^2.$$

После упрощения получаем

$$S_n=k(1-2k).$$

Если $$n=2k$$, то

$$S_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\dots+\bigl((2k)^2-(2k-1)^2\bigr).$$

Тогда

$$S_n=1+2+3+\dots+2k=\frac{2k(2k+1)}{2}=k(2k+1).$$

Ответ: $$S_n= \begin{cases} k(1-2k), & \text{если } n=2k-1,\\ k(2k+1), & \text{если } n=2k. \end{cases}$$

в) Рассмотрим сумму $$S_n=0+3+2+5+4+7+6+\dots+\bigl(n+(-1)^n\bigr).$$

Если $$n=2k-1$$, то

$$S_n=0+2+3+4+5+\dots+(2k-2)+(2k-1)-1.$$

Это сумма чисел от $$1$$ до $$2k-1$$, уменьшенная на $$1$$:

$$S_n=\frac{(2k-1)2k}{2}-1=\frac{n(n+1)}{2}-1.$$

Если $$n=2k$$, то

$$S_n=0+2+3+4+5+\dots+2k.$$

Здесь сумма чисел от $$1$$ до $$2k$$ равна

$$S_n=\frac{2k(2k+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Ответ: $$S_n= \begin{cases} \dfrac{n(n+1)}{2}-1, & \text{если } n=2k-1,\\[6pt] \dfrac{n(n+1)}{2}, & \text{если } n=2k. \end{cases}$$

г) Рассмотрим сумму $$S_n=2-6+12-20+\dots+(-1)^{n+1}(n^2+n).$$

Если $$n=2k-1$$, то

$$S_n=(2-6)+(12-20)+\dots+\bigl((2k-2)^2-(2k-2)\bigr)+\bigl((2k-1)^2+(2k-1)\bigr).$$

Сгруппируем попарно:

$$(2m)^2-2m-(2m-2)^2+2m-2=4m-2.$$

В результате получаем

$$S_n=2k^2.$$

Если $$n=2k$$, то

$$S_n=(2-6)+(12-20)+\dots-\bigl((2k)^2+2k\bigr).$$

После группировки пар получаем

$$S_n=-2k(k+1).$$

Ответ: $$S_n= \begin{cases} 2k^2, & \text{если } n=2k-1,\\ -2k(k+1), & \text{если } n=2k. \end{cases}$$