Упр.6.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(6^n + 20n + 24) : 25$$; б) $$(7^n + 12n + 17) : 18$$.

Докажем по индукции, что выражения делятся на указанные числа при любом $$n \in \mathbb{N}$$.

а)

Рассмотрим $$a_n=\dfrac{6^n+20n+24}{25}.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$6^1+20\cdot 1+24=6+20+24=50,$$

значит, $$50$$ делится на $$25$$.

Пусть при некотором $$n=k$$ выражение $$6^k+20k+24$$ делится на $$25$$. Докажем, что тогда и $$6^{k+1}+20(k+1)+24$$ делится на $$25$$:

$$\begin{aligned} 6^{k+1}+20(k+1)+24 &=6\cdot 6^k+20k+20+24 \\ &=6(6^k+20k+24)-100k-100 \\ &=6(6^k+20k+24)-25(4k+4). \end{aligned}$$

Так как $$6^k+20k+24$$ делится на $$25$$, то и всё выражение делится на $$25$$.

б)

Рассмотрим $$a_n=\dfrac{7^n+12n+17}{18}.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$7^1+12\cdot 1+17=7+12+17=36,$$

значит, $$36$$ делится на $$18$$.

Пусть при некотором $$n=k$$ выражение $$7^k+12k+17$$ делится на $$18$$. Докажем, что тогда и $$7^{k+1}+12(k+1)+17$$ делится на $$18$$:

$$\begin{aligned} 7^{k+1}+12(k+1)+17 &=7\cdot 7^k+12k+12+17 \\ &=7(7^k+12k+17)-72k-102 \\ &=7(7^k+12k+17)-18(4k+5). \end{aligned}$$

Так как $$7^k+12k+17$$ делится на $$18$$, то и всё выражение делится на $$18$$.

Ответ: оба выражения делятся на соответствующие числа при любом $$n \in \mathbb{N}$$.