Упр.6.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажем каждое неравенство методом математической индукции.

а)

$$5^n>3n-1,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Обозначим

$$S_n=5^n-3n+1.$$

1) При $$n=1$$ имеем:

$$S_1=5^1-3\cdot 1+1=5-3+1=3>0.$$

2) Предположим, что для некоторого $$n$$ верно $$S_n>0$$. Тогда

$$S_{n+1}=5^{n+1}-3(n+1)+1=5\cdot 5^n-3n-2 =(5^n-3n+1)+(4\cdot 5^n-3)=S_n+(4\cdot 5^n-3).$$

Так как $$5^n\ge 5$$, то

$$4\cdot 5^n-3\ge 4\cdot 5-3=17>0.$$

Значит, $$S_{n+1}>0$$. Следовательно, $$5^n>3n-1$$ для всех $$n\in\mathbb{N}$$.

б)

$$3^n>2n^2+3n,\quad n\in \mathbb{N},\ n\ge 4.$$

Обозначим

$$S_n=3^n-2n^2-3n.$$

1) При $$n=4$$:

$$S_4=3^4-2\cdot 4^2-3\cdot 4=81-32-12=37>0.$$

2) Пусть для некоторого $$n\ge 4$$ верно $$S_n>0$$. Тогда

$$S_{n+1}=3^{n+1}-2(n+1)^2-3(n+1) =3\cdot 3^n-2n^2-4n-5$$

$$=(3^n-2n^2-3n)+(2\cdot 3^n-4n-5)=S_n+(2\cdot 3^n-4n-5).$$

Осталось показать, что

$$P_n=2\cdot 3^n-4n-5>0.$$

При $$n=5$$:

$$P_5=2\cdot 3^5-4\cdot 5-5=486-20-5=461>0.$$

И если $$P_n>0$$, то

$$P_{n+1}=2\cdot 3^{n+1}-4(n+1)-5 =6\cdot 3^n-4n-9 =(2\cdot 3^n-4n-5)+(4\cdot 3^n-4) =P_n+(4\cdot 3^n-4).$$

Так как $$3^n\ge 3^5=243$$, то

$$4\cdot 3^n-4>0.$$

Следовательно, $$P_{n+1}>0$$, а значит, и $$S_{n+1}>0$$. Неравенство доказано.

в)

$$2^n>5n+1,\quad n\in \mathbb{N},\ n\ge 5.$$

Обозначим

$$S_n=2^n-5n-1.$$

1) При $$n=5$$:

$$S_5=2^5-5\cdot 5-1=32-25-1=6>0.$$

2) Пусть для некоторого $$n\ge 5$$ верно $$S_n>0$$. Тогда

$$S_{n+1}=2^{n+1}-5(n+1)-1 =2\cdot 2^n-5n-6 =(2^n-5n-1)+(2^n-5) =S_n+(2^n-5).$$

Так как $$2^n\ge 2^5=32$$, то

$$2^n-5\ge 27>0.$$

Значит, $$S_{n+1}>0$$. Следовательно, $$2^n>5n+1$$ для всех $$n\ge 5$$.

г)

$$5^n>3n^2+10n,\quad n\in \mathbb{N},\ n\ge 3.$$

Обозначим

$$S_n=5^n-3n^2-10n.$$

1) При $$n=3$$:

$$S_3=5^3-3\cdot 3^2-10\cdot 3=125-27-30=68>0.$$

2) Пусть для некоторого $$n\ge 3$$ верно $$S_n>0$$. Тогда

$$S_{n+1}=5^{n+1}-3(n+1)^2-10(n+1) =5\cdot 5^n-3n^2-16n-13$$

$$=(5^n-3n^2-10n)+(4\cdot 5^n-6n-13) =S_n+(4\cdot 5^n-6n-13).$$

Осталось доказать, что

$$P_n=4\cdot 5^n-6n-13>0.$$

При $$n=4$$:

$$P_4=4\cdot 5^4-6\cdot 4-13=2500-24-13=2463>0.$$

Если $$P_n>0$$, то

$$P_{n+1}=4\cdot 5^{n+1}-6(n+1)-13 =20\cdot 5^n-6n-19 =(4\cdot 5^n-6n-13)+(16\cdot 5^n-6) =P_n+(16\cdot 5^n-6).$$

Так как $$5^n\ge 5^4=625$$, то

$$16\cdot 5^n-6>0.$$

Следовательно, $$P_{n+1}>0$$, а значит, $$S_{n+1}>0$$. Неравенство доказано.

Ответ

Все неравенства верны при указанных условиях.