Упр.5.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$|x+5|>5x-7$$; в) $$|7x+4|>6+5x$$; б) $$|x^2+x-5|>3x$$; г) $$|-x^2-x|>4x-2$$.
а) Рассмотрим неравенство $$|x+5|>5x-7.$$
Если $$5x-7<0,$$ то неравенство выполняется при любых $$x$$, удовлетворяющих
$$5x-7<0 \;\Rightarrow\; x<\frac{7}{5}.$$
Если $$5x-7\ge 0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:
$$(x+5)^2>(5x-7)^2$$
$$x^2+10x+25>25x^2-70x+49$$
$$24x^2-80x+24<0$$
$$3x^2-10x+3<0$$
$$D=100-36=64,\quad x_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad x_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
Тогда
$$\frac13<x<3.$$
С учётом условия $$5x-7\ge 0$$ получаем $$x\ge \frac75,$$ значит, в этом случае
$$\frac75\le x<3.$$
Объединяя оба случая, получаем:
$$x<3.$$
б) Решим неравенство $$|x^2+x-5|>3x.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x^2+x-5\ge 0,$$ то
$$x^2+x-5>3x,$$
$$x^2-2x-5>0.$$
Корни уравнения $$x^2-2x-5=0$$:
$$x=1\pm \sqrt6.$$
Тогда
$$x<1-\sqrt6 \;\text{или}\; x>1+\sqrt6.$$
С учётом условия $$x^2+x-5\ge 0$$ остаётся
$$x<1-\sqrt6 \;\text{или}\; x>1+\sqrt6.$$
2) Если $$x^2+x-5<0,$$ то
$$-(x^2+x-5)>3x,$$
$$x^2+4x-5<0.$$
Корни уравнения $$x^2+4x-5=0$$:
$$x=-5,\; x=1.$$
Значит,
$$-5<x<1.$$
3) Если $$3x<0,$$ то есть $$x<0,$$ то неравенство $$|x^2+x-5|>3x$$ выполняется автоматически.
После объединения всех случаев получаем:
$$x\in(-\infty;1)\cup(1+\sqrt6;+\infty).$$
в) Решим неравенство $$|7x+4|\ge 6+5x.$$
Если $$6+5x<0,$$ то неравенство верно при любых $$x$$:
$$6+5x<0 \;\Rightarrow\; x<-\frac65.$$
Если $$6+5x\ge 0,$$ то
$$(7x+4)^2\ge (6+5x)^2$$
$$49x^2+56x+16\ge 25x^2+60x+36$$
$$24x^2-4x-20\ge 0$$
$$6x^2-x-5\ge 0.$$
Корни уравнения $$6x^2-x-5=0$$:
$$D=1+120=121,\quad x_1=\frac{-1-11}{12}=-1,\quad x_2=\frac{-1+11}{12}=\frac56.$$
Тогда
$$x\le -1 \;\text{или}\; x\ge \frac56.$$
С учётом условия $$6+5x\ge 0$$ получаем
$$x\ge -\frac65,$$
значит, во втором случае
$$-\frac65\le x\le -1 \;\text{или}\; x\ge \frac56.$$
Итак,
$$x\in\left(-\infty;-\frac65\right)\cup\left[-\frac65;-1\right]\cup\left[\frac56;+\infty\right)=\left(-\infty;-1\right]\cup\left[\frac56;+\infty\right).$$
г) Решим неравенство $$|-x^2-x|\ge 4x-2.$$
Если $$-x^2-x\ge 0,$$ то
$$x^2+x\le 0,$$
откуда
$$-1\le x\le 0.$$
Если $$-x^2-x<0,$$ то
$$x^2+x\ge 4x-2,$$
$$x^2-3x+2\ge 0,$$
$$(x-1)(x-2)\ge 0.$$
Следовательно,
$$x\le 1 \;\text{или}\; x\ge 2.$$
Если $$4x-2\le 0,$$ то есть $$x\le \frac12,$$ то неравенство выполняется автоматически.
Объединяя все случаи, получаем:
$$x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$
Ответ
а) $$x<3$$; б) $$x\in(-\infty;1)\cup(1+\sqrt6;+\infty)$$; в) $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac56;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$
