Упр.49.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В круге с центром в начале координат и радиусом $$л$$ случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что:
   a) сумма координат этой точки больше $$3$$;
   б) произведение координат этой точки меньше $$4$$;
   в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{3}$$;
   г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами $$(0; 2)$$, $$(-2; -2)$$, $$(1; -2)$$.

Всего точек с целыми координатами в круге радиуса $$\pi$$ с центром в начале координат:

$$-3 \le x \le 3,\quad -3 \le y \le 3,$$

и при этом

$$x^2+y^2 \le \pi^2 \approx 9{,}86.$$

Целые значения координат: $$-3,-2,-1,0,1,2,3.$$

Точек с целыми координатами внутри квадрата $$[-3;3]\times[-3;3]$$ всего

$$7\cdot 7=49,$$

но вне круга лежат только четыре угловые точки $$(-3;\pm 3),\ (3;\pm 3),$$ поэтому

$$N=49-4=45.$$

Решение

1. Сумма координат больше $$3$$ только у точки $$(2;2)$$.

   Тогда

   $$N(A)=1,\qquad P(A)=\frac{1}{45}.$$

2. Произведение координат меньше $$4$$ не выполняется только для точек $$(-2;-2)$$ и $$(2;2)$$.

   Значит, подходящих точек

   $$N(A)=45-2=43,$$

   и

   $$P(A)=\frac{43}{45}.$$

3. Круг радиуса $$\sqrt{3}$$ с центром в начале координат содержит точки с целыми координатами:

   $$(-1;0),\ (0;-1),\ (0;0),\ (0;1),\ (1;0),\ (-1;-1),\ (-1;1),\ (1;-1),\ (1;1).$$

   Их всего $$9$$, значит

   $$P(A)=\frac{9}{45}=\frac{1}{5}.$$

4. В треугольнике с вершинами $$(0;2),\ (-2;-2),\ (1;-2)$$ лежат 10 точек с целыми координатами:

   $$(0;2),\ (0;1),\ (-1;0),\ (0;0),\ (-1;-1),\ (0;-1),\ (-1;-2),\ (0;-2),\ (1;-1),\ (1;-2).$$

   Тогда вне треугольника находится

   $$N(A)=45-10=35,$$

   и

   $$P(A)=\frac{35}{45}=\frac{7}{9}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{45}$$; б) $$\frac{43}{45}$$; в) $$\frac{1}{5}$$; г) $$\frac{7}{9}$$.