Упр.49.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

В темном ящике $$n$$ белых и $$n-1$$ черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара.
а) Найдите вероятность того, что имеется как минимум три белых шара.
б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $$n$$.
в) К какому числу стремится эта вероятность при $$n\to\infty$$?
г) Найдите $$n$$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

Подробный ответ

Обозначим событие $$A$$: среди четырёх вынутых шаров окажется как минимум три белых.

Всего шаров в ящике $$2n-1$$, поэтому число всех равновозможных исходов равно $$C_{2n-1}^4$$.

а)

Благоприятные исходы: либо вынули $$3$$ белых и $$1$$ чёрный шар, либо $$4$$ белых шара. Тогда

$$P(n)=\frac{C_n^3\cdot C_{n-1}^1+C_n^4}{C_{2n-1}^4}.$$

Вычислим:

$$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6},\qquad C_{n-1}^1=n-1,\qquad C_n^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24},$$

$$C_{2n-1}^4=\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}.$$

Тогда

$$P(n)=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}(n-1)+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}{24}}$$

$$=\frac{4n(n-1)^2(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)}{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}.$$

Сократим на $$2n-2=2(n-1)$$ и $$2n-4=2(n-2)$$:

$$P(n)=\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}.$$

б)

Представим вероятность в виде

$$P(n)=\frac14\cdot \frac{n}{2n-1}\cdot \frac{5n-7}{2n-3} =\frac14\cdot \frac12\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)\cdot \frac12\left(5+\frac{1}{2n-3}\right).$$

При росте $$n$$ дроби $$\frac{1}{2n-1}$$ и $$\frac{1}{2n-3}$$ убывают, значит убывает и $$P(n)$$. Следовательно, вероятность монотонно убывает с ростом $$n$$.

в)

Найдём предел:

$$\lim_{n\to\infty}P(n)=\lim_{n\to\infty}\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)} =\frac{5}{16}=0{,}3125.$$

г)

Решим неравенство

$$\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}<0{,}35=\frac{35}{100}.$$

Так как знаменатель положителен при $$n\ge 2$$, получаем

$$100(5n^2-7n)<140(2n-1)(2n-3).$$

$$500n^2-700n<140(4n^2-8n+3),$$

$$500n^2-700n<560n^2-1120n+420,$$

$$-60n^2+420n-420<0,$$

$$n^2-7n+7>0.$$

Корни уравнения $$n^2-7n+7=0$$:

$$n_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{21}}{2}.$$

Так как $$\frac{7-\sqrt{21}}{2}\approx 1{,}21$$, $$\frac{7+\sqrt{21}}{2}\approx 5{,}79$$, то при натуральных $$n$$ неравенство выполняется для $$n\ge 6$$. Значит, начиная с $$n=6$$ вероятность будет меньше $$0{,}35$$.