Упр.48.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$C_2(27)-C_2(27)$$; б) $$\frac{A_6(8)}{A_2(10)}$$; в) $$C_5(11)+C_6(11)$$; г) $$\frac{A_3(10)}{C_3(10)}$$.

Используем формулы сочетаний и размещений:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}, \qquad A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

Ход решения

1. $$C_{27}^2-C_{26}^2=\frac{27!}{2!\cdot25!}-\frac{26!}{2!\cdot24!}.$$

   Сократим:

   $$C_{27}^2=\frac{27\cdot26}{2}=351,\qquad C_{26}^2=\frac{26\cdot25}{2}=325.$$

   Тогда

   $$351-325=26.$$

2. $$\frac{A_8^6}{A_{10}^2}=\frac{8!}{(8-6)!}:\frac{10!}{(10-2)!}=\frac{8!}{2!}:\frac{10!}{8!}.$$

   Преобразуем дробь:

   $$\frac{8!}{2!}\cdot\frac{8!}{10!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2!}{2!}\cdot\frac{8!}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2!}=\frac{8!}{10\cdot9\cdot2!}.$$

   Удобнее сразу вычислить:

   $$\frac{A_8^6}{A_{10}^2}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3}{10\cdot9}=\frac{20160}{90}=224.$$

3. $$C_{11}^5+C_{11}^6=\frac{11!}{5!\cdot6!}+\frac{11!}{6!\cdot5!}=2\cdot\frac{11!}{5!\cdot6!}.$$

   Вычислим:

   $$2\cdot\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot6!}=2\cdot462=924.$$

4. $$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3}=\frac{10!}{(10-3)!}:\frac{10!}{3!\cdot(10-3)!}.$$

   Сократим:

   $$\frac{10!}{7!}\cdot\frac{3!\cdot7!}{10!}=3!=6.$$

Ответ

а) $$26$$; б) $$224$$; в) $$924$$; г) $$6$$.