Упр.48.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите $$k$$, при котором достигается наибольшее значение выражения:

а) $$\mathrm{C}_k(5)$$; б) $$\mathrm{C}_k(16)$$; в) $$\mathrm{C}_k(61)$$; г) $$\mathrm{C}_{k-1}(999)+\mathrm{C}_k(999)$$.

Наибольшее значение биномиального коэффициента $$C_n^k$$ достигается в середине строки треугольника Паскаля: при $$k=\frac{n}{2}$$, а если $$n$$ нечётно, то при двух соседних значениях $$k$$.

1. $$C_5^k$$

   $$k=\frac{5}{2}=2{,}5$$

   Значит, наибольшее значение достигается при $$k=2$$ или $$k=3$$.

2. $$C_{16}^k$$

   $$k=\frac{16}{2}=8$$

   Следовательно, $$k=8$$.

3. $$C_{61}^k$$

   $$k=\frac{61}{2}=30{,}5$$

   Значит, наибольшее значение достигается при $$k=30$$ или $$k=31$$.

4. $$C_{999}^{k-1}+C_{999}^{k}$$

   По формуле Паскаля:

   $$C_{999}^{k-1}+C_{999}^{k}=C_{1000}^{k}$$

   Теперь ищем максимум для $$C_{1000}^{k}$$:

   $$k=\frac{1000}{2}=500$$

   Следовательно, наибольшее значение достигается при $$k=500$$.

Ответ: а) $$k=2$$ или $$k=3$$; б) $$k=8$$; в) $$k=30$$ или $$k=31$$; г) $$k=500$$.