Упр.48.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В разложении $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}$$ по степеням $$x$$ укажите: а) член, содержащий $$x^8$$; б) член, содержащий $$x^4$$; в) член, содержащий $$x^{-2}$$; г) член, не содержащий $$x$$.

По формуле бинома Ньютона

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-2k}.$$

Найдём нужные члены:

1. член с $$x^8$$: нужно $$10-2k=8$$, откуда $$k=1$$. Тогда
   $$C_{10}^1x^8=10x^8.$$
2. член с $$x^4$$: нужно $$10-2k=4$$, откуда $$k=3$$. Тогда
   $$C_{10}^3x^4=120x^4.$$
3. член с $$x^{-2}$$: нужно $$10-2k=-2$$, откуда $$k=6$$. Тогда
   $$C_{10}^6x^{-2}=210x^{-2}.$$
4. член, не содержащий $$x$$: нужно $$10-2k=0$$, откуда $$k=5$$. Тогда
   $$C_{10}^5=252.$$

Ответ: а) $$10x^8$$; б) $$120x^4$$; в) $$210x^{-2}$$; г) $$252$$.