Упр.47.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды. а) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче. б) То же, но для двух независимо проводимых матчей. в) То же, но если во втором матче участвует только по три лучших шахматиста из каждой команды. г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

а) В первом матче нужно распределить 5 шахматистов одной команды по 5 шахматистам другой команды. Число таких распределений равно числу перестановок из 5 элементов:

$$A_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120.$$

б) Для двух независимых матчей число вариантов равно произведению числа вариантов в каждом матче:

$$A=5!\cdot5!=(5!)^2=120^2=14400.$$

в) В первом матче вариантов по-прежнему $$5!=120$$, а во втором матче участвуют только 3 лучших шахматиста из каждой команды, значит:

$$3!=6.$$

Тогда

$$A=5!\cdot3!=120\cdot6=720.$$

г) Во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой, значит их пара уже фиксирована. Остаётся распределить ещё 4 шахматистов каждой команды:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.$$

Для первого матча вариантов по-прежнему $$5!=120$$, поэтому

$$A=5!\cdot4!=120\cdot24=2880.$$

Ответ: а) 120; б) 14400; в) 720; г) 2880.