Упр.47.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких натуральных значениях $$n$$ выполняется неравенство:

а) $$n!>(n+1)(n-2)!$$;

б) $$7\cdot(2n+1)!(2n-1)!<8((2n)!)^2$$?

а) Преобразуем правую часть:

$$(n+1)(n-2)! = \frac{n+1}{n(n-1)} \cdot n!$$

Тогда неравенство

$$n! > (n+1)(n-2)!$$

равносильно

$$n(n-1)(n-2)! > (n+1)(n-2)!$$

Так как $$n \ge 2$$, то $$(n-2)! > 0$$, можно сократить на него:

$$n(n-1) > n+1$$

$$n^2-2n-1 > 0$$

Корни уравнения $$n^2-2n-1=0$$:

$$n=1\pm \sqrt{2}$$

Следовательно,

$$n<1-\sqrt{2} \quad \text{или} \quad n>1+\sqrt{2}$$

С учётом натуральности $$n$$ получаем:

$$n \ge 3$$

б) Преобразуем неравенство:

$$7\cdot (2n+1)!\cdot (2n-1)! < 8\cdot ((2n)!)^2$$

Так как

$$(2n+1)!=(2n+1)(2n)!, \qquad (2n-1)! = \frac{(2n)!}{2n},$$

то

$$7\cdot (2n+1)(2n)!\cdot \frac{(2n)!}{2n} < 8\cdot ((2n)!)^2$$

Сократим на $$((2n)!)^2 > 0$$:

$$\frac{7(2n+1)}{2n} < 8$$

$$7(2n+1) < 16n$$

$$14n+7 < 16n$$

$$7 < 2n$$

$$n>3{,}5$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:

$$n \ge 4$$

Ответ: а) $$n \ge 3$$; б) $$n \ge 4$$.