Упр.47.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$n! = 42(n — 2)!$$; б) $$(k + 17)! = 420(k + 15)!$$; в) $$0{,}125n! = (n — 1)! — 90$$; г) $$(3x)! = 504(3x — 3)!$$.

а) $$n!=42(n-2)!$$

Так как $$n!=n(n-1)(n-2)!,$$ получаем

$$n(n-1)(n-2)!=42(n-2)!.$$

Поскольку $$n\ge 2,$$ то $$(n-2)!\ne 0,$$ и можно сократить на $$(n-2)!$$:

$$n(n-1)=42.$$

$$n^2-n-42=0.$$

$$D=1+168=169,$$

$$n_{1,2}=\frac{1\pm 13}{2}.$$

Отсюда $$n_1=-6,$$ $$n_2=7.$$

Так как решение должно быть натуральным числом, то $$n=7.$$

б) $$(k+17)! = 420(k+15)!$$

$$(k+17)(k+16)(k+15)! = 420(k+15)!.$$

Сократим на $$(k+15)! \ne 0$$:

$$(k+17)(k+16)=420.$$

$$k^2+33k+272=420,$$

$$k^2+33k-148=0.$$

$$D=33^2+4\cdot 148=1089+592=1681,$$

$$k_{1,2}=\frac{-33\pm 41}{2}.$$

Получаем $$k_1=-37,$$ $$k_2=4.$$

Так как $$k$$ — натуральное число, то $$k=4.$$

в) $$0{,}125n!=(n-1)!-90$$

Так как $$0{,}125=\frac18,$$ имеем

$$\frac18\,n(n-1)!=(n-1)!-90.$$

Умножим на $$8$$:

$$n(n-1)!=8(n-1)!-720.$$

$$8(n-1)!-n(n-1)!=720.$$

$$(n-1)!(8-n)=720.$$

Проверим натуральные значения. Так как $$(n-1)!$$ должно быть определено и правая часть положительна, то $$n<8.$$

Подходит $$n=7,$$ потому что

$$6!\cdot(8-7)=720\cdot 1=720.$$

Значит, $$n=7.$$

г) $$(3x)! = 504(3x-3)!$$

$$3x(3x-1)(3x-2)(3x-3)! = 504(3x-3)!.$$

Сократим на $$(3x-3)! \ne 0$$:

$$3x(3x-1)(3x-2)=504.$$

Разложим $$504=9\cdot 8\cdot 7.$$ Тогда подходит

$$3x=9,$$

откуда

$$x=3.$$

Ответ

а) $$n=7$$; б) $$k=4$$; в) $$n=7$$; г) $$x=3$$.