Упр.46.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции $$y=\sqrt{(x^3-x^2)^3}+\sqrt{x^2-6x+9}$$, $$x\in[0;5]$$?

Обозначим

$$y=\sqrt{(x^2-6x+9)^3}+\sqrt{x^2-6x+9}, \qquad x\in[0;5].$$

Так как

$$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$

то

$$y=\sqrt{(x-3)^6}+\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|^3+|x-3|.$$

Положим $$t=|x-3|.$$ Тогда при $$x\in[0;5]$$ имеем $$t\in[0;3].$$

Получаем функцию

$$y=t^3+t,\qquad t\in[0;3].$$

Она возрастает на этом промежутке, значит её значения заполняют отрезок

$$y\in[0;\,3^3+3]=[0;30].$$

Натуральные числа из этого промежутка: $$1,2,3,\ldots,30.$$ Их всего $$30$$.

Ответ: 30.