Упр.46.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Функция

$$y=\frac{-2x^2-2x-38}{x^2+6x+34}$$

определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$, так как

$$x^2+6x+34=(x+3)^2+25>0.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$y’=\frac{(-4x-2)(x^2+6x+34)-(-2x^2-2x-38)(2x+6)}{(x^2+6x+34)^2}.$$

Упростим числитель:

$$(-4x-2)(x^2+6x+34)=-4x^3-26x^2-148x-68,$$

$$(-2x^2-2x-38)(2x+6)=-4x^3-16x^2-88x-228.$$

Тогда

$$y’=\frac{-4x^3-26x^2-148x-68+4x^3+16x^2+88x+228}{(x^2+6x+34)^2} =\frac{-10x^2-60x+160}{(x^2+6x+34)^2}.$$

Приравняем числитель к нулю:

$$-10x^2-60x+160=0,$$

$$x^2+6x-16=0,$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100.$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}, \qquad x_1=-8,\; x_2=2.$$

Так как знаменатель производной всегда положителен, знак $$y’$$ определяется числителем $$-10(x+8)(x-2)$$. Следовательно, на отрезке $$[-8;2]$$ функция возрастает, а вне его убывает.

Найдём значения функции в концах этого промежутка:

$$y(-8)=\frac{-2\cdot 64-2\cdot(-8)-38}{64+6\cdot(-8)+34} =\frac{-128+16-38}{64-48+34} =\frac{-150}{50}=-3,$$

$$y(2)=\frac{-2\cdot 4-2\cdot 2-38}{4+6\cdot 2+34} =\frac{-8-4-38}{4+12+34} =\frac{-50}{50}=-1.$$

Наибольшее значение функции равно $$-1$$, наименьшее — $$-3$$. Значит, область значений:

$$E(y)=[-3;-1].$$

Ответ: $$[-3;-1]$$.