Упр.46.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=(x-1)^3+4,\ [-2;1]$$;
   б) $$y=7-(2x-8)^4,\ [-1;3]$$;
   в) $$y=5-(3x+6),\ [-2;0]$$;
   г) $$y=2(x+3)^6-4,\ [-1;2]$$.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на каждом отрезке, учитывая монотонность выражения внутри скобок.

1. $$y=(x-1)^3+4,\quad x\in[-2;1]$$

   На отрезке $$[-2;1]$$ выражение $$x-1$$ принимает значения от $$-3$$ до $$0$$, значит

   $$-27\le (x-1)^3\le 0.$$

   Тогда

   $$-23\le (x-1)^3+4\le 4.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-23,\quad y_{\max}=4.$$

2. $$y=7-(2x-8)^4,\quad x\in[-1;3]$$

   На отрезке $$[-1;3]$$ имеем

   $$-1\le x\le 3 \Rightarrow -2\le 2x\le 6 \Rightarrow -10\le 2x-8\le -2.$$

   Тогда

   $$16\le (2x-8)^4\le 10000.$$

   Следовательно,

   $$-9993\le 7-(2x-8)^4\le -9.$$

   Значит, $$y_{\min}=-9993,\quad y_{\max}=-9.$$

3. $$y=5-(3x+6),\quad x\in[-2;0]$$

   Преобразуем:

   $$y=-3x-1.$$

   На отрезке $$[-2;0]$$ линейная функция убывает, поэтому

   $$y(-2)=5,\qquad y(0)=-1.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=5.$$

4. $$y=2(x+3)^6-4,\quad x\in[-1;2]$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ имеем

   $$2\le x+3\le 5.$$

   Так как степень чётная, то

   $$64\le (x+3)^6\le 15625.$$

   Умножим на $$2$$ и вычтем $$4$$:

   $$124\le 2(x+3)^6-4\le 31246.$$

   Значит, $$y_{\min}=124,\quad y_{\max}=31246.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-23,\ y_{\max}=4$$; б) $$y_{\min}=-9993,\ y_{\max}=-9$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=5$$; г) $$y_{\min}=124,\ y_{\max}=31246$$.