Упр.46.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\sin^3 x+\cos^3 x,\quad \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$; б) $$y=\sin^5 x-\cos^5 x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$.
а) $$y=x^3-2x^2+1,\quad x\in[0{,}5;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-4x=x(3x-4).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac43.$$
На промежутке $$[0{,}5;+\infty)$$ функция убывает на $$\left[0{,}5;\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac43;+\infty\right).$$ Значит, минимум достигается при $$x=\frac43$$:
$$y\!\left(\frac43\right)=\left(\frac43\right)^3-2\left(\frac43\right)^2+1=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+1=\frac{64-96+27}{27}=-\frac5{27}.$$
Максимума на данном промежутке нет, так как при $$x\to+\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.
б) $$y=x-2\sqrt{x},\quad x\in[0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=1-\frac1{\sqrt{x}}.$$
Приравняем к нулю:
$$1-\frac1{\sqrt{x}}=0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x}=1 \;\Rightarrow\; x=1.$$
На $$[0;1]$$ функция убывает, а на $$[1;+\infty)$$ возрастает, значит, минимум достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=1-2\sqrt1=1-2=-1.$$
Максимума на промежутке $$[0;+\infty)$$ нет.
в) $$y=\frac15x^5-x^2,\quad x\in(-\infty;1]$$
Найдём производную:
$$y’=\frac15\cdot 5x^4-2x=x^4-2x=x(x^3-2).$$
Критическая точка на данном промежутке: $$x=0$$, а также $$x=\sqrt[3]{2}$$, но она не принадлежит промежутку $$(-\infty;1].$$
На $$(-\infty;1]$$ наибольшее значение достигается в точке $$x=0$$:
$$y(0)=\frac15\cdot 0^5-0^2=0.$$
Минимума на данном промежутке нет, так как при $$x\to-\infty$$ функция убывает без ограничения.
г) $$y=\frac{x^4}{x^4+1},\quad x\in(-\infty;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{4x^3(x^4+1)-x^4\cdot 4x^3}{(x^4+1)^2}=\frac{4x^3}{(x^4+1)^2}.$$
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком $$x^3$$:
$$y’\le 0 \text{ при } x\le 0,\qquad y’\ge 0 \text{ при } x\ge 0.$$
Следовательно, минимум достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=\frac{0^4}{0^4+1}=0.$$
При $$x\to\pm\infty$$ имеем
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1,$$
поэтому наибольшего значения функция не принимает.
Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac5{27},\ y_{\max}$$ не существует; б) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\max}=0,\ y_{\min}$$ не существует; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}$$ не существует.
