Упр.46.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=x^2-5|x|+6$$, $$[0;4]$$;
б) $$y=x^2-5|x|+6$$, $$[-5;0]$$;
в) $$y=x^2+8|x|+7$$, $$[1;5]$$;
г) $$y=x^2+8|x|+7$$, $$[-8;-2]$$.
а) $$y=x^2-4x+5+|1-x|,\quad [0;4].$$
Рассмотрим два случая:
$$y= \begin{cases} x^2-4x+5+1-x=x^2-5x+6, & 0\le x\le 1,\\ x^2-4x+5+x-1=x^2-3x+4, & 1\le x\le 4. \end{cases}$$
Найдём значения функции в концах отрезка, в точке излома и в стационарных точках.
$$(x^2-5x+6)’=2x-5,\qquad 2x-5=0 \Rightarrow x=\frac52;$$
$$(x^2-3x+4)’=2x-3,\qquad 2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32.$$
Точка $$x=\frac52$$ принадлежит второму промежутку, а $$x=\frac32$$ — тоже второму. Проверим значения:
$$y(0)=6,\quad y(1)=2,\quad y\!\left(\frac32\right)=\frac94-\frac92+4=\frac74,\quad y(4)=16-12+4=8.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$\frac74$$, а наибольшее — $$8$$.
б) $$y=|x^3-1|-3x,\quad [-1;3].$$
Разобьём на случаи:
$$y= \begin{cases} 1-x^3-3x, & -1\le x\le 1,\\ x^3-1-3x, & 1\le x\le 3. \end{cases}$$
Найдём производные:
$$(1-x^3-3x)’=-3x^2-3,\qquad (x^3-1-3x)’=3x^2-3.$$
Уравнение $$-3x^2-3=0$$ корней не имеет. Для второй части:
$$3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Внутри промежутка $$[1;3]$$ корней нет, поэтому проверяем только концы отрезка и точку излома $$x=1$$:
$$y(-1)=1-(-1)^3-3(-1)=5,\quad y(1)=1-1-3=-3,\quad y(3)=27-1-9=17.$$
Значит, $$y_{\min}=-3$$, $$y_{\max}=17$$.
в) $$y=x^2+8|x|+7,\quad [1;5].$$
Так как $$x\ge 1$$, то $$|x|=x$$, и
$$y=x^2+8x+7.$$
$$y’ = 2x+8.$$
На отрезке $$[1;5]$$ производная положительна, значит функция возрастает. Поэтому
$$y_{\min}=y(1)=1+8+7=16,\qquad y_{\max}=y(5)=25+40+7=72.$$
г) $$y=x^2+8|x|+7,\quad [-8;-2].$$
Так как $$x\le -2$$, то $$|x|=-x$$, и
$$y=x^2-8x+7.$$
$$y’ = 2x-8.$$
На отрезке $$[-8;-2]$$ имеем $$2x-8<0$$, значит функция убывает. Тогда
$$y_{\max}=y(-8)=64+64+7=135,\qquad y_{\min}=y(-2)=4+16+7=27.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=\frac74,\; y_{\max}=8$$; б) $$y_{\min}=-3,\; y_{\max}=17$$; в) $$y_{\min}=16,\; y_{\max}=72$$; г) $$y_{\min}=27,\; y_{\max}=135$$.
