Упр.46.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $$y=x^3-2x^2+1$$, $$[0{,}5;+\infty)$$; б) $$y=x-2\sqrt{x}$$, $$[0;+\infty)$$; в) $$y=\frac{1}{5}x^5-x^2$$, $$(-\infty;1]$$; г) $$y=\frac{x^4}{x^4+1}$$, $$(-\infty;+\infty)$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=(2x-1)^2(x-2)$$ на отрезке $$[-1;2].$$
Найдём производную:
$$y’ = 2(2x-1)\cdot 2(x-2) + (2x-1)^2 \cdot 1$$
$$y’ = (2x-1)\bigl(4(x-2)+(2x-1)\bigr)=(2x-1)(6x-9).$$
Критические точки:
$$(2x-1)(6x-9)=0 \Rightarrow x=\frac12,\; x=\frac32.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$y(-1)=(-3)^2\cdot(-3)=-27,$$
$$y\left(\frac12\right)=0,$$
$$y\left(\frac32\right)=2^2\cdot\left(-\frac12\right)=-2,$$
$$y(2)=3^2\cdot 0=0.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-27,$$ а наибольшее — $$0.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2}{x^2-2x-1}$$ на отрезке $$[0;2].$$
Область определения на этом отрезке: знаменатель не обращается в нуль, так как уравнение $$x^2-2x-1=0$$ имеет корни $$x=1\pm\sqrt2,$$ и ни один из них не принадлежит отрезку $$[0;2].$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2x(x^2-2x-1)-x^2(2x-2)}{(x^2-2x-1)^2} =\frac{-2x^2-2x}{(x^2-2x-1)^2} =-\frac{2x(x+1)}{(x^2-2x-1)^2}.$$
Критические точки на отрезке:
$$-2x(x+1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=-1.$$
На отрезке $$[0;2]$$ подходит только $$x=0.$$ Проверим также правый конец отрезка:
$$y(0)=0,\qquad y(2)=\frac{4}{4-4-1}=-4.$$
Значит, $$y_{\max}=0,$$ $$y_{\min}=-4.$$
в) Рассмотрим функцию $$y=(x+4)(3x+1)^2$$ на отрезке $$\left[-2;-\frac12\right].$$
Найдём производную:
$$y’=(x+4)'(3x+1)^2+(x+4)\bigl((3x+1)^2\bigr)’$$
$$y’=(3x+1)^2+(x+4)\cdot 2(3x+1)\cdot 3$$
$$y’=(3x+1)^2+6(x+4)(3x+1) =(3x+1)(9x+25).$$
Критические точки:
$$(3x+1)(9x+25)=0 \Rightarrow x=-\frac13,\; x=-\frac{25}{9}.$$
На отрезке $$\left[-2;-\frac12\right]$$ лежит только точка $$x=-\frac13,$$ но она не принадлежит отрезку. Поэтому достаточно проверить концы отрезка:
$$y(-2)=2\cdot(-5)^2=50,$$
$$y\left(-\frac12\right)=\frac72\cdot\left(\frac12\right)^2=\frac78.$$
Следовательно, $$y_{\min}=\frac78,$$ $$y_{\max}=50.$$
г) Рассмотрим функцию $$y=\frac{5x^3}{x^2-9}$$ на отрезке $$[-1;1].$$
Область определения на этом отрезке: $$x\neq \pm 3,$$ значит, на $$[-1;1]$$ функция определена всюду.
Найдём производную:
$$y’=\frac{15x^2(x^2-9)-5x^3\cdot 2x}{(x^2-9)^2} =\frac{15x^4-135x^2-10x^4}{(x^2-9)^2} =\frac{5x^4-135x^2}{(x^2-9)^2} =\frac{5x^2(x^2-27)}{(x^2-9)^2}.$$
Критические точки на отрезке:
$$5x^2(x^2-27)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm 3\sqrt3.$$
На отрезке $$[-1;1]$$ подходит только $$x=0.$$ Проверим значения в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-1)=\frac{5(-1)^3}{1-9}=\frac58,$$
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=\frac{5}{1-9}=-\frac58.$$
Значит, $$y_{\min}=-\frac58,$$ $$y_{\max}=\frac58.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-27,\; y_{\max}=0.$$
б) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=0.$$
в) $$y_{\min}=\frac78,\; y_{\max}=50.$$
г) $$y_{\min}=-\frac58,\; y_{\max}=\frac58.$$
