Упр.46.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x+\frac{4}{x-1}$$ на отрезке: а) $$[2;4]$$; б) $$[-2;0]$$.

Найдём производную функции $$y=x+\frac{4}{x-1}.$$

$$y’=1-\frac{4}{(x-1)^2}.$$

Критические точки внутри области определения найдём из уравнения

$$1-\frac{4}{(x-1)^2}=0,$$

$$\frac{4}{(x-1)^2}=1,$$

$$(x-1)^2=4,$$

$$x-1=\pm 2,$$

$$x=-1,\; x=3.$$

Точка $$x=1$$ не входит в область определения функции.

1) На отрезке $$[2;4]$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке $$x=3$$:

$$y(2)=2+\frac{4}{2-1}=6,$$

$$y(3)=3+\frac{4}{3-1}=5,$$

$$y(4)=4+\frac{4}{4-1}=4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}.$$

Следовательно, на отрезке $$[2;4]$$

$$y_{\min}=5,$$ $$y_{\max}=6.$$

2) На отрезке $$[-2;0]$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке $$x=-1$$:

$$y(-2)=-2+\frac{4}{-2-1}=-2-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3},$$

$$y(-1)=-1+\frac{4}{-1-1}=-1-2=-3,$$

$$y(0)=0+\frac{4}{0-1}=-4.$$

Следовательно, на отрезке $$[-2;0]$$

$$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=-3.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=5,$$ $$y_{\max}=6.$$

б) $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=-3.$$