Упр.46.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1$$ на отрезке: а) $$[-1;2]$$; б) $$[1;6]$$; в) $$[-2;3]$$; г) $$[1;7]$$.
Найдём производную функции $$y=x^4-8x^3+10x^2+1.$$
$$y’=4x^3-24x^2+20x=4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5).$$
Стационарные точки: $$x=0,\;x=1,\;x=5.$$
а) На отрезке $$[-1;2]$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках, попадающих на отрезок:
$$y(-1)=(-1)^4-8(-1)^3+10(-1)^2+1=1+8+10+1=20,$$
$$y(0)=0^4-8\cdot 0^3+10\cdot 0^2+1=1,$$
$$y(1)=1^4-8\cdot 1^3+10\cdot 1^2+1=1-8+10+1=4,$$
$$y(2)=2^4-8\cdot 2^3+10\cdot 2^2+1=16-64+40+1=-7.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-7,\quad y_{\max}=20.$$
б) На отрезке $$[1;6]$$
$$y(1)=4,$$
$$y(5)=5^4-8\cdot 5^3+10\cdot 5^2+1=625-1000+250+1=-124,$$
$$y(6)=6^4-8\cdot 6^3+10\cdot 6^2+1=1296-1728+360+1=-71.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-124,\quad y_{\max}=4.$$
в) На отрезке $$[-2;3]$$
$$y(-2)=(-2)^4-8(-2)^3+10(-2)^2+1=16+64+40+1=121,$$
$$y(0)=1,$$
$$y(1)=4,$$
$$y(3)=3^4-8\cdot 3^3+10\cdot 3^2+1=81-216+90+1=-44.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-44,\quad y_{\max}=121.$$
г) На отрезке $$[1;7]$$
$$y(1)=4,$$
$$y(5)=-124,$$
$$y(7)=7^4-8\cdot 7^3+10\cdot 7^2+1=2401-2744+490+1=148.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-124,\quad y_{\max}=148.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=-7,\; y_{\max}=20$$; б) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=4$$; в) $$y_{\min}=-44,\; y_{\max}=121$$; г) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=148$$.
