Упр.45.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} =\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{4x}{(x^2+1)^2}.$$
1) Область определения: $$x^2+1\neq 0$$, значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x).$$
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x^2+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac1{x^2}}{1+\frac1{x^2}}=1.$$
Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
4) Промежутки монотонности:
Так как $$\,(x^2+1)^2>0\,$$ при всех $$x$$, знак $$f'(x)$$ определяется знаком $$x$$:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
5) Стационарная точка:
$$f(0)=\frac{0^2-1}{0^2+1}=-1.$$
Минимум функции: $$y_{\min}=-1.$$
б) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-4)'(x^2+4)-(x^2-4)(x^2+4)’}{(x^2+4)^2} =\frac{2x(x^2+4)-2x(x^2-4)}{(x^2+4)^2} =\frac{16x}{(x^2+4)^2}.$$
1) Область определения: $$x^2+4\neq 0$$, значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{(-x)^2-4}{(-x)^2+4}=\frac{x^2-4}{x^2+4}=f(x).$$
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4}{x^2+4} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac4{x^2}}{1+\frac4{x^2}}=1.$$
Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
4) Промежутки монотонности:
Так как $$\,(x^2+4)^2>0\,$$ при всех $$x$$, знак $$f'(x)$$ определяется знаком $$x$$:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<0,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>0.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
5) Стационарная точка:
$$f(0)=\frac{0^2-4}{0^2+4}=-1.$$
Минимум функции: $$y_{\min}=-1.$$
Ответ: в обоих случаях функция чётная, имеет горизонтальную асимптоту $$y=1$$, убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$, минимум равен $$-1$$ при $$x=0$$.
