Упр.45.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{2x+1}{x^2+2}$$
$$f'(x)=\frac{(2x+1)'(x^2+2)-(2x+1)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2}$$
$$f'(x)=\frac{2(x^2+2)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2}=\frac{2x^2+4-4x^2-2x}{(x^2+2)^2}=\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2}$$
1) Область определения:
$$x^2+2\neq 0$$
Равенство невозможно при любом $$x$$, значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Чётность:
$$f(-x)=\frac{-2x+1}{x^2+2}\neq f(x), \qquad f(-x)\neq -f(x),$$
следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^2+2}=0,$$
значит, $$y=0.$$
4) Промежутки монотонности:
$$f'(x)=\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2}=\frac{-2(x-1)(x+2)}{(x^2+2)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется выражением $$-2(x-1)(x+2).$$
Отсюда:
$$f'(x)>0 \text{ при } -2<x<1,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-2;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$
5) Стационарные точки:
$$f(-2)=\frac{2\cdot(-2)+1}{(-2)^2+2}=\frac{-3}{6}=-\frac12,$$
$$f(1)=\frac{2\cdot 1+1}{1^2+2}=\frac{3}{3}=1.$$
Значит, точка минимума: $$(-2;-\frac12),$$ точка максимума: $$(1;1).$$
б) $$f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$$
$$f'(x)=\frac{(x-2)'(x^2+5)-(x-2)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2}$$
$$f'(x)=\frac{x^2+5-2x(x-2)}{(x^2+5)^2}=\frac{-x^2+4x+5}{(x^2+5)^2}$$
1) Область определения:
$$x^2+5\neq 0$$
Равенство невозможно при любом $$x$$, значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Чётность:
$$f(-x)=\frac{-x-2}{x^2+5}\neq f(x), \qquad f(-x)\neq -f(x),$$
следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x-2}{x^2+5}=0,$$
значит, $$y=0.$$
4) Промежутки монотонности:
$$f'(x)=\frac{-x^2+4x+5}{(x^2+5)^2}=\frac{-(x-5)(x+1)}{(x^2+5)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то
$$f'(x)>0 \text{ при } -1<x<5,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>5.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;5]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$
5) Стационарные точки:
$$f(-1)=\frac{-1-2}{(-1)^2+5}=\frac{-3}{6}=-\frac12,$$
$$f(5)=\frac{5-2}{5^2+5}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}.$$
Значит, точка минимума: $$(-1;-\frac12),$$ точка максимума: $$(5;\frac{1}{10}).$$
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, асимптота $$y=0,$$ возрастает на $$[-2;1],$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[1;+\infty),$$ минимум $$f(-2)=-\frac12,$$ максимум $$f(1)=1.$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, асимптота $$y=0,$$ возрастает на $$[-1;5],$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[5;+\infty),$$ минимум $$f(-1)=-\frac12,$$ максимум $$f(5)=\frac{1}{10}.$$
