Упр.45.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{1}{(x+2)^2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left((x+2)^{-2}\right)’=-2(x+2)^{-3}=-\frac{2}{(x+2)^3}.$$

1) Область определения:

$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2,$$

$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$

2) Функция ни чётная, ни нечётная, так как $$f(-x)=\frac{1}{(2-x)^2}\ne f(x).$$

3) Асимптоты:

$$x=-2$$

— вертикальная асимптота;

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{(x+2)^2}=0,\qquad \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{(x+2)^2}=0,$$

значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

4) Промежутки монотонности:

$$f'(x)=-\frac{2}{(x+2)^3}.$$

Если $$x<-2,$$ то $$(x+2)^3<0,$$ значит $$f'(x)>0$$ и функция возрастает на $$(-\infty;-2).$$

Если $$x>-2,$$ то $$(x+2)^3>0,$$ значит $$f'(x)<0$$ и функция убывает на $$(-2;+\infty).$$

5) Для построения графика можно взять точки:

График состоит из двух ветвей, имеет асимптоты $$x=-2$$ и $$y=0$$.

б) $$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}=\frac{1}{(x+1)^2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left((x+1)^{-2}\right)’=-2(x+1)^{-3}=-\frac{2}{(x+1)^3}.$$

1) Область определения:

$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1,$$

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

2) Функция ни чётная, ни нечётная, так как $$f(-x)=\frac{1}{(1-x)^2}\ne f(x).$$

3) Асимптоты:

$$x=-1$$

— вертикальная асимптота;

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{(x+1)^2}=0,\qquad \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{(x+1)^2}=0,$$

значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

4) Промежутки монотонности:

$$f'(x)=-\frac{2}{(x+1)^3}.$$

Если $$x<-1,$$ то $$(x+1)^3<0,$$ значит $$f'(x)>0$$ и функция возрастает на $$(-\infty;-1).$$

Если $$x>-1,$$ то $$(x+1)^3>0,$$ значит $$f'(x)<0$$ и функция убывает на $$(-1;+\infty).$$

5) Для построения графика можно взять точки:

График состоит из двух ветвей, имеет асимптоты $$x=-1$$ и $$y=0$$.