Упр.45.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=\frac{1}{x^2+1}$$
б) $$y=-\frac{2}{x^2+4}$$
а) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
1) Область определения: $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x).$$
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+1}=0,$$
значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
4) Производная:
$$f'(x)=\left(\frac{1}{x^2+1}\right)’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то знак $$f'(x)$$ определяется знаком $$-x$$. Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
5) Экстремум:
$$f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1,$$
значит, в точке $$x=0$$ достигается максимум: $$y_{\max}=1.$$
6) Для построения графика возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0{,}5$$ | $$0{,}2$$ | $$0{,}1$$ |
График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и стремится к оси $$Ox$$ при $$x\to\pm\infty.$$
б) $$f(x)=-\frac{2}{x^2+4}$$
1) Область определения: $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, значит $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Функция чётная, так как
$$f(-x)=-\frac{2}{(-x)^2+4}=-\frac{2}{x^2+4}=f(x).$$
3) Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}-\frac{2}{x^2+4}=0,$$
значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
4) Производная:
$$f'(x)=\left(-\frac{2}{x^2+4}\right)’=\frac{4x}{(x^2+4)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то знак $$f'(x)$$ определяется знаком $$x$$. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
5) Экстремум:
$$f(0)=-\frac{2}{0^2+4}=-\frac{1}{2},$$
значит, в точке $$x=0$$ достигается минимум: $$y_{\min}=-\frac{1}{2}.$$
6) Для построения графика возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-0{,}4$$ | $$-0{,}25$$ | $$-0{,}15$$ |
График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0;-\frac{1}{2}\right)$$ и стремится к оси $$Ox$$ при $$x\to\pm\infty.$$
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty),$$ $$y_{\max}=1,$$ асимптота $$y=0.$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty),$$ $$y_{\min}=-\frac{1}{2},$$ асимптота $$y=0.$$
