Упр.45.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\sqrt{x}\left(4x^3+3x^2-6x+2{,}75-\sin \pi x\right)=0$$.

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}\,(4x^3+3x^2-6x+2{,}75-\sin \pi x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$

2) $$4x^3+3x^2-6x+2{,}75-\sin \pi x=0.$$

Перенесём всё в разные части:

$$4x^3+3x^2-6x=\sin \pi x-2{,}75.$$

Рассмотрим функции

$$f(x)=4x^3+3x^2-6x,\qquad g(x)=\sin \pi x-2{,}75.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём характер изменения функций.

Для $$f(x)$$:

$$f'(x)=12x^2+6x-6=6(2x^2+x-1)=6(2x-1)(x+1).$$

На области $$x\ge 0$$ имеем:

$$f'(x)\le 0 \text{ при } 0\le x\le \frac12,\qquad f'(x)\ge 0 \text{ при } x\ge \frac12.$$

Значит, $$f(x)$$ убывает на $$[0;\frac12]$$ и возрастает на $$[\frac12;+\infty).$$

Вычислим значение в точке минимума:

$$f\!\left(\frac12\right)=4\cdot\frac18+3\cdot\frac14-6\cdot\frac12=\frac12+\frac34-3=-\frac74=-1{,}75.$$

Для $$g(x)$$:

$$g'(x)=\pi\cos \pi x.$$

Следовательно, $$g(x)$$ принимает наибольшее значение при $$x=\frac12+2n$$, а наименьшее — при $$x=\frac32+2n$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

Так как $$\sin \pi x\in[-1;1]$$, то

$$g(x)\in[-3{,}75;-1{,}75].$$

При этом для $$x\ge 0$$ значение $$g(x)$$ не превосходит $$-1{,}75$$, а функция $$f(x)$$ на $$[0;\frac12]$$ принимает значения от $$0$$ до $$-1{,}75$$, причём

$$f(0)=0,\qquad f\!\left(\frac12\right)=-1{,}75,$$

и

$$g(0)=-2{,}75,\qquad g\!\left(\frac12\right)=-1{,}75.$$

Единственная общая точка графиков на этом промежутке соответствует $$x=\frac12$$, а также отдельно найденному корню $$x=0$$.

Проверка:

$$x=0:\ \sqrt{0}\,(4\cdot0^3+3\cdot0^2-6\cdot0+2{,}75-\sin 0)=0.$$

$$x=\frac12:\ \sqrt{\frac12}\left(4\cdot\frac18+3\cdot\frac14-6\cdot\frac12+2{,}75-\sin\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

Ответ

$$x=0,\ \frac12.$$