Упр.45.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько корней имеет уравнение $$x^3+ax+2=0$$ при различных значениях параметра $$a$$?

Рассмотрим уравнение

$$x^3+ax+2=0.$$

Выразим параметр:

$$a=-\frac{x^3+2}{x}=-x^2-\frac{2}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Обозначим

$$f(x)=-x^2-\frac{2}{x}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2x+\frac{2}{x^2}.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)=0 \iff -2x+\frac{2}{x^2}=0 \iff 1-x^3=0 \iff x=1.$$

Тогда

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty,0)\cup(0,1), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(1,+\infty).$$

Значит, на промежутке $$(-\infty,0)\cup(0,1]$$ функция возрастает, а на $$[1,+\infty)$$ убывает. В точке $$x=1$$ достигается максимум:

$$f(1)=-1-\frac{2}{1}=-3.$$

Следовательно, график функции $$a=f(x)$$ пересекает горизонтальную прямую $$a=\text{const}$$:

• один раз, если $$a>-3$$;
• два раза, если $$a=-3$$;
• три раза, если $$a<-3$$.

Это и есть число корней исходного уравнения.

Ответ: $$1$$ корень при $$a>-3$$; $$2$$ корня при $$a=-3$$; $$3$$ корня при $$a<-3$$.