Упр.44.75 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите неравенство:
а) $$x^2-x^3<\frac{1}{6}$$, если $$x>\frac{2}{3}$$;
б) $$2\sqrt{x}\geq 3-\frac{1}{x}$$, если $$x>0$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-x^3-\frac16.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-3x^2=x(2-3x).$$

При $$x>\frac23$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит, функция убывает на луче $$\left[\frac23;+\infty\right).$$ Следовательно, при $$x>\frac23$$

$$f(x)<f\!\left(\frac23\right).$$

Вычислим значение функции в точке $$x=\frac23$$:

$$f\!\left(\frac23\right)=\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^3-\frac16=\frac49-\frac8{27}-\frac16=\frac{12-8}{27}-\frac16=\frac4{27}-\frac16<0.$$

Значит,

$$x^2-x^3<\frac16.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\sqrt{x}-3+\frac1x,\qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac1{\sqrt{x}}-\frac1{x^2}=\frac{x^{3/2}-1}{x^2}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем:

$$x^{3/2}-1\ge 0 \iff x\ge 1.$$

Следовательно, на промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция убывает при $$0<x<1$$ и возрастает при $$x>1,$$ значит, в точке $$x=1$$ она достигает минимума.

Вычислим:

$$f(1)=2\sqrt1-3+\frac11=2-3+1=0.$$

Отсюда для всех $$x>0$$

$$2\sqrt{x}-3+\frac1x\ge 0,$$

то есть

$$2\sqrt{x}\ge 3-\frac1x.$$