Упр.44.72 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$$;

б) $$\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$$.

Пусть $$f(x)=\arcsin x+\arccos x.$$ Тогда на области определения $$x\in[-1;1]$$ имеем

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0.$$

Значит, $$f(x)=C$$ — постоянная функция. Найдём константу:

$$f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},$$

то есть

$$\arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arccos x.$$

Аналогично, пусть $$g(x)=\arctg x+\arcctg x.$$ Тогда для всех $$x\in\mathbb{R}$$

$$g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0.$$

Следовательно, $$g(x)=C$$. Найдём значение при $$x=0$$:

$$g(0)=\arctg 0+\arcctg 0=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Значит,

$$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arccos x,\qquad \arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$