Упр.44.71 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3\cos \pi x+5\sin \frac{\pi x}{2}+18x=43-x^5-22x^3$$;

б) $$2\sin \frac{\pi x}{2}-2\cos \pi x-10x=x^5-54$$.

а) Обозначим

$$f(x)=3\cos \pi x+5\sin \frac{\pi x}{2}+18x,$$

$$g(x)=43-x^5-22x^3.$$

Тогда

$$f'(x)=-3\pi \sin \pi x+\frac{5\pi}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+18,$$

$$g'(x)=-5x^4-66x^2\le 0.$$

Следовательно, функция $$g(x)$$ убывает на всей числовой прямой. Кроме того,

$$f'(x)\ge 18-3\pi-\frac{5\pi}{2}=18-\frac{11\pi}{2}>0,$$

значит, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=1$$:

$$f(1)=3\cos \pi+5\sin \frac{\pi}{2}+18\cdot 1=-3+5+18=20,$$

$$g(1)=43-1^5-22\cdot 1^3=43-1-22=20.$$

Значит, $$x=1$$ — корень уравнения, а так как корень единственный, то это и есть решение.

б) Обозначим

$$f(x)=2\sin \frac{\pi x}{2}-2\cos \pi x-10x,$$

$$g(x)=x^5-54.$$

Тогда

$$f'(x)=\pi \cos \frac{\pi x}{2}+2\pi \sin \pi x-10,$$

$$g'(x)=5x^4\ge 0.$$

Следовательно, функция $$g(x)$$ возрастает на всей числовой прямой. Кроме того,

$$f'(x)\le \pi+2\pi-10=3\pi-10<0,$$

значит, функция $$f(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

Итак, уравнение $$f(x)=g(x)$$ имеет не более одного корня.

Проверим значение $$x=2$$:

$$f(2)=2\sin \pi-2\cos 2\pi-10\cdot 2=0-2-20=-22,$$

$$g(2)=2^5-54=32-54=-22.$$

Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения, а значит, он единственный.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=2$$.