Упр.44.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=|x^3-3x|.$$

Сначала найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$x^3-3x\ge 0$$

$$x(x^2-3)\ge 0$$

$$x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\ge 0.$$

Отсюда

$$-\sqrt3\le x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt3.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} x^3-3x, & -\sqrt3\le x\le 0 \text{ или } x\ge \sqrt3,\\ 3x-x^3, & x<-\sqrt3 \text{ или } 0<x<\sqrt3. \end{cases}$$

1) Для $$y=x^3-3x$$ имеем

$$y’=3x^2-3.$$

Функция возрастает, когда

$$3x^2-3\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2\ge 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

2) Для $$y=3x-x^3$$ имеем

$$y’=3-3x^2.$$

Функция возрастает, когда

$$3-3x^2\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2\le 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -1\le x\le 1.$$

С учётом разбиения по промежуткам получаем:

$$y$$ возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$

$$y$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3].$$

Точки максимума: $$x=-1$$ и $$x=1.$$

Точки минимума: $$x=-\sqrt3,\; x=0,\; x=\sqrt3.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=|x-x^3|.$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$x-x^3\ge 0$$

$$x(1-x^2)\ge 0$$

$$x(1-x)(1+x)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad 0\le x\le 1.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} x-x^3, & x\le -1 \text{ или } 0\le x\le 1,\\ x^3-x, & -1<x<0 \text{ или } x>1. \end{cases}$$

1) Для $$y=x-x^3$$ имеем

$$y’=1-3x^2.$$

Функция возрастает, когда

$$1-3x^2\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2\le \frac13 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -\frac1{\sqrt3}\le x\le \frac1{\sqrt3}.$$

2) Для $$y=x^3-x$$ имеем

$$y’=3x^2-1.$$

Функция возрастает, когда

$$3x^2-1\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2\ge \frac13 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x\le -\frac1{\sqrt3} \text{ или } x\ge \frac1{\sqrt3}.$$

С учётом разбиения по промежуткам:

$$y$$ возрастает на $$[-1;-\frac1{\sqrt3}]\cup[0;\frac1{\sqrt3}]\cup[1;+\infty),$$

$$y$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[-\frac1{\sqrt3};0]\cup[\frac1{\sqrt3};1].$$

Точки максимума: $$x=-\frac1{\sqrt3}$$ и $$x=\frac1{\sqrt3}.$$

Точки минимума: $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$

Ответ: а) возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3];$$ точки максимума $$x=-1,\; x=1,$$ точки минимума $$x=-\sqrt3,\; x=0,\; x=\sqrt3.$$
б) возрастает на $$[-1;-\frac1{\sqrt3}]\cup[0;\frac1{\sqrt3}]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[-\frac1{\sqrt3};0]\cup[\frac1{\sqrt3};1];$$ точки максимума $$x=-\frac1{\sqrt3},\; x=\frac1{\sqrt3},$$ точки минимума $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$