Упр.44.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=|x-3|-2$$

Рассмотрим знак выражения под модулем:

$$x-3\ge 0 \iff x\ge 3.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} x-3-2=x-5, & x\ge 3,\\ -(x-3)-2=-x+1, & x<3. \end{cases}$$

На промежутке $$x\ge 3$$ функция $$y=x-5$$ возрастает, а на промежутке $$x<3$$ функция $$y=-x+1$$ убывает.

Следовательно, функция возрастает на $$[3;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;3]$$. Минимум достигается при $$x=3$$.

б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$

Область определения: $$x\ne 0$$.

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$\frac{1}{x}-1\ge 0 \iff \frac{1-x}{x}\ge 0 \iff 0<x\le 1.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} \frac{1}{x}-1, & 0<x\le 1,\\ 1-\frac{1}{x}, & x<0 \text{ или } x>1. \end{cases}$$

Для $$0<x\le 1$$:

$$y’=-\frac{1}{x^2}<0,$$

значит, функция убывает на $$[1;+\infty)$$ и на $$(-\infty;0)$$ не рассматривается из-за разрыва; на $$(0;1]$$ она убывает.

Для $$x<0$$ или $$x>1$$:

$$y’=\frac{1}{x^2}>0,$$

значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и на $$[1;+\infty)$$.

Итак, функция возрастает на $$(-\infty;0) \cup [1;+\infty)$$ и убывает на $$(0;1]$$. Минимум достигается при $$x=1$$.

в) $$y=\left|(x-2)(x+3)\right|$$

Рассмотрим знак произведения:

$$(x-2)(x+3)\ge 0 \iff x\le -3 \text{ или } x\ge 2.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} (x-2)(x+3)=x^2+x-6, & x\le -3 \text{ или } x\ge 2,\\ -(x-2)(x+3)=-x^2-x+6, & -3<x<2. \end{cases}$$

1) Для $$y=x^2+x-6$$:

$$y’=2x+1.$$

$$2x+1\ge 0 \iff x\ge -\frac12.$$

С учётом области этой ветви получаем возрастание на $$[2;+\infty)$$ и убывание на $$(-\infty;-3]$$.

2) Для $$y=-x^2-x+6$$:

$$y’=-2x-1.$$

$$-2x-1\ge 0 \iff x\le -\frac12.$$

С учётом области этой ветви функция возрастает на $$[-3;-\frac12]$$ и убывает на $$[-\frac12;2]$$.

Итак, функция возрастает на $$[-3;-\frac12]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\frac12;2]$$. Максимум достигается при $$x=-\frac12$$, минимумы — при $$x=-3$$ и $$x=2$$.

г) $$y=(|x|-2)|x|$$

Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$y=t(t-2)=t^2-2t.$$

Рассмотрим по знаку $$x$$:

$$y= \begin{cases} x^2-2x, & x\ge 0,\\ x^2+2x, & x<0. \end{cases}$$

Для $$x\ge 0$$:

$$y’=2x-2,$$

поэтому функция убывает на $$[0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

Для $$x<0$$:

$$y’=2x+2,$$

поэтому функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;0]$$.

Следовательно, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$. Максимум достигается при $$x=0$$, минимумы — при $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Ответ

а) возрастает на $$[3;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;3]$$; минимум при $$x=3$$.
б) возрастает на $$(-\infty;0)\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(0;1]$$; минимум при $$x=1$$.
в) возрастает на $$[-3;-\frac12]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\frac12;2]$$; максимум при $$x=-\frac12$$, минимумы при $$x=-3$$ и $$x=2$$.
г) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$; максимум при $$x=0$$, минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1$$.