Упр.44.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$y=(x^3-27x)^3$$;
б) $$y=\sqrt{x^3-27x}$$;
в) $$y=(x^3-3x^2)^4$$;
г) $$y=\sqrt{x^3-3x^2}$$.

Подробный ответ

а) $$y=(x^3-27x)^3$$

Пусть $$u=x^3-27x,$$ тогда $$y=u^3.$$

Тогда

$$y’=3u^2\cdot u’=3(x^3-27x)^2(3x^2-27)=9(x^3-27x)^2(x^2-9).$$

Критические точки: $$x=-3,\;0,\;3.$$

Так как $$y’>0$$ при $$x<-3$$ и $$-3<x<0,$$ а $$y'<0$$ при $$0<x<3,$$ то

$$x=-3$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

б) $$y=\sqrt{x^3-27x}$$

Область определения:

$$x^3-27x\ge 0,$$

$$x(x^2-27)\ge 0,$$

$$x(x-3\sqrt3)(x+3\sqrt3)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[-3\sqrt3,0]\cup[3\sqrt3,+\infty).$$

Производная:

$$y’=\frac{3x^2-27}{2\sqrt{x^3-27x}}=\frac{3(x^2-9)}{2\sqrt{x^3-27x}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак $$y’$$ определяется числителем. Для возрастания нужно

$$3x^2-27\ge 0,$$

$$x^2\ge 9,$$

$$x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$

С учётом области определения получаем, что функция возрастает на $$[-3\sqrt3,-3]$$ и $$[3\sqrt3,+\infty).$$

Следовательно, $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

в) $$y=(x^3-3x^2)^4$$

Пусть $$u=x^3-3x^2,$$ тогда $$y=u^4.$$

Тогда

$$y’=4u^3\cdot u’=4(x^3-3x^2)^3(3x^2-6x)=12x(x-2)(x-3)(x^3-3x^2)^2.$$

Критические точки: $$x=0,\;2,\;3.$$

По знаку производной получаем: функция возрастает на $$(-\infty,0]$$ и $$[2,3],$$ убывает на $$[0,2]$$ и $$[3,+\infty).$$

Значит, $$x=0$$ и $$x=3$$ — точки максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

г) $$y=\sqrt{x^3-3x^2}$$

Область определения:

$$x^3-3x^2\ge 0,$$

$$x^2(x-3)\ge 0,$$

$$x\ge 3.$$

Производная:

$$y’=\frac{3x^2-6x}{2\sqrt{x^3-3x^2}}=\frac{3x(x-2)}{2\sqrt{x^3-3x^2}}.$$

На области определения имеем $$x\ge 3,$$ поэтому $$y’>0$$ при всех допустимых $$x.$$ Следовательно, функция возрастает на своей области определения и точек максимума и минимума не имеет.