Упр.44.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Найдём производные и исследуем знак производной в каждом пункте.

а)

$$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x-1$$

$$y’ = x^2-5x+6$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$x^2-5x+6=0$$

$$D=25-24=1$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=3$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$y’>0$$ при $$x<2$$ и $$x>3$$, а $$y'<0$$ при $$2<x<3$$. Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(3;+\infty)$$.

Ответ: $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

б)

$$y=x^3-27x+26$$

$$y’=3x^2-27$$

$$3x^2-27=0$$

$$x^2=9$$

$$x=\pm 3$$

Поскольку $$y’>0$$ при $$x<-3$$ и $$x>3$$, а $$y'<0$$ при $$-3<x<3$$, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-3)$$ и $$(3;+\infty)$$.

Ответ: $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

в)

$$y=x^3-7x^2-5x+11$$

$$y’=3x^2-14x-5$$

Решим уравнение $$y’=0$$:

$$3x^2-14x-5=0$$

$$D=196+60=256$$

$$x_{1,2}=\frac{14\pm16}{6}$$

$$x_1=-\frac13,\quad x_2=5$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$y’>0$$ при $$x<-\frac13$$ и $$x>5$$, а $$y'<0$$ при $$-\frac13<x<5$$. Следовательно, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\frac13)$$ и $$(5;+\infty)$$.

Ответ: $$x=-\frac13$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума.